حسابگر ابزارهای آنلاین دنیای اطلاعات
دنیای اطلاعات: به چند ضلعی که همه اضلاع و زاویه‌هایش برابر باشند، چندضلعی منتظم می‌گویند. چندضلعی‌های منتظم بر اساس تعداد ضلع‌هایشان به سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی الاضلاع)، چهارضلعی منتظم (مربع)، پنج‌ضلعی منتظم، شش‌ضلعی منتظم و غیره تقسیم می‌شوند.
چند ضلعی منتظم چیست؟
هرگاه در یک چندضلعی، تمام زاویه‌ها با هم و تمام ضلع‌ها با هم مساوی باشند، به آن چندضلعی منتظم می‌گویند. تصویر زیر، چند نمونه چند ضلعی منتظم را نمایش می‌دهد. از بین این موارد، مثلث متساوی الاضلاع (سه‌ضلعی منتظم) و مربع (چهارضلعی منتظم)، شناخته شده‌تر از دیگر چندضلعی‌های منتظم هستند.
R = شعاع دایره محیطی
r = شعاع دایره محاطی
a = طول هر ضلع
n = تعداد ضلع ها
x = زاویه داخلی
y = زاویه خارجی
A = مساحت
P = محیط
طول اضلاع چند ضلعی منتظم
ضلع‌ها، پاره‌خط‌هایی هستند که محیط چندضلعی منتظم را تشکیل می‌دهند. ضلع، از اندازه‌های مهم در تعیین محیط و مساحت چندضلعی منتظم است.
فرمول طول هر ضلع چند ضلعی منتظم به صورت زیر نوشته می‌شود:
a = 2r tan(π/n) = 2R sin(π/n)
شعاع دایره محیطی
«شعاع دایره ی محیطی» (Circumradius) در یک چندضلعیِ مدور (cyclic polygon) برابر با شعاع دایره ی محیطیِ آن چندضلعی است. در یک مثلث (triangle) این برابر با اندازه ی شعاع دایره ای است که آن مثلث را احاطه کرده است. از آنجا که هر مثلثی یک چندضلعیِ مدور است، هر مثلثی دارای یک دایره ی محیطی (circumcircle) می باشد.
فرمول شعاع دایره محیطی چند ضلعی منتظم به صورت زیر نوشته می‌شود:
R = (1/2) a csc(π/n) = r sec(π/n)
شعاع دایره محاطی یا ارتفاع
به کوچک‌ترین فاصله نقاط روی محیط چند ضلعی منتظم تا مرکز آن، «ارتفاع» (Apothem) یا «شعاع داره محاطی» (Inradius) می‌گویند. یک چندضلعی منتظم، به تعداد ضلع‌هایش، ارتفاع دارد. این ارتفاع، با ضلع‌های چندضلعی منتظم، زاویه ۹۰ درجه می‌سازند. تصویر زیر، یکی از ارتفاع‌های یک شش‌ضلعی منتظم را نمایش می‌دهد.
ارتفاع چندضلعی منتظم، با عنوان «شعاع دایره ی محاطی» (Inradius) نیز شناخته می‌شود. اگر دایره‌ای را درون یک چندضلعی منتظم محاط کنیم، شعاع آن با ارتفاع چندضلعی منتظم برابر می‌شود. محاسبه ارتفاع چندضلعی منتظم، پیچیده‌تر از محاسبه محیط آن است. فرمول شعاع دایره محاطی یا ارتفاع چند ضلعی منتظم به صورت زیر نوشته می‌شود:
r = (1/2)a cot(π/n) = R cos(π/n)
مساحت چند ضلعی منتظم
«مساحت» (Area) چند ضلعی منتظم با استفاده از محیط و ارتفاع به دست می‌آید. محیط، به عنوان اندازه دور چندضلعی منتظم تعریف می‌شود. ارتفاع نیز فاصله عمودی مرکز این شکل هندسی تا ضلع‌های آن است. تصویر زیر، محیط و ارتفاع‌های یکی از شناخته شده‌ترین چندضلعی های منتظم را نمایش می‌دهد. این چندضلعی، مربع نام دارد.
در صورت داشتن اندازه ارتفاع و محیط مربع، امکان محاسبه مساحت مربع با استفاده از فرمول زیر فراهم می‌شود:
۲ ÷ (محیط چند ضلعی × ارتفاع چند ضلعی) = مساحت چند ضلعی منتظم
در صورت نداشتن شعاع دایره محاطی از فرمول زیر استفاده می کنیم:
A = (1/4)na2 cot(π/n) = nr2 tan(π/n)
محیط چند ضلعی منتظم
«محیط» (Perimeter)، مجموع طول ضلع‌های تشکیل‌دهنده چندضلعی منتظم است. به دلیل برابر بودن طول تمام ضلع‌های چندضلعی منتظم، محیط این شکل از ضرب یک ضلع در تعداد کل ضلع‌ها به دست می‌آید.
فرمول محیط چندضلعی منتظم عبارت است از:
P = na
زاویه داخلی x
به زاویه بین دو راس (زاویه محل برخورد دو ضلع مجاور)، زاویه داخلی می‌گویند. یک n ضلعی منتظم، n زاویه داخلی با اندازه‌های برابر دارد.
فرمول محاسبه زوایه داخلی چند ضلعی منتظم:
x = ((n-2)π / n) radians = (((n-2)/n) x 180° ) degrees
زاویه خارجی y
با امتداد دادن هر ضلع چندضلعی منتظم، بین امتداد و ضلع مجاورش، زاویه‌ای به وجود می‌آید که به آن، زاویه خارجی گفته می‌شود. هر n ضلعی منتظم، n زاویه خارجی دارد. زوایای خارجی چندضلعی منتظم نیز مانند زوایای داخلی آن هم‌اندازه هستند.
فرمول محاسبه زوایه خارجی چند ضلعی منتظم:
y = (2π / n) radians = (360° / n) degrees
تشکر واقعا عالی
سلام من سواد زیادی ندارم و یک زمین دارم که یک طرفش ۱۰۰ متر روبه روش ۵۰ متر و بغلهاش یکی ۱۴۰ متر و یکی دیگه ۵۵ متره … میشه به من بگین مساحت کل زمینه چقدر میشه .. ممنونتون میشم